Question

3．已知D、E分別為△ABC邊AB、AC的中點，F(xiàn)是線段DE上一點，BF交AC于點C，CF交AB于點H，求$\frac{AG}{GC}+\frac{AH}{HB}$的值．

Answer 1

分析 以B為坐標(biāo)原點，以BC為x軸正方向建立坐標(biāo)系，設(shè)C（2a，0），A（2b，2c），則D（b，c），E（a+b，c），設(shè)F點坐標(biāo)為（t，c），求出G，H點坐標(biāo)，進(jìn)而可得$\frac{AG}{GC}+\frac{AH}{HB}$的值．

解答 解：如圖所示，以B為坐標(biāo)原點，以BC為x軸正方向建立坐標(biāo)系，
設(shè)C（2a，0），A（2b，2c），則D（b，c），E（a+b，c），
設(shè)F點坐標(biāo)為（t，c），
則直線BG的方程為：y=$\frac{c}{t}$x，
直線AC的方程為：y=$\frac{c}{b-a}$（x-2a），
聯(lián)立直線AC與BD的方程可得：$\frac{c}{t}$x=$\frac{c}{b-a}$（x-2a），
解得：x=$\frac{2t}{a+t-b}$，
故$\frac{AG}{GC}$=$\frac{\frac{2at}{a+t-b}-2b}{2a-\frac{2at}{a+t-b}}$=$\frac{at-ab-bt+^{2}}{{a}^{2}-ab}$，
同理可得：$\frac{AH}{HB}$=$\frac{a+b-t}{a}$，
∴$\frac{AG}{GC}+\frac{AH}{HB}$=$\frac{at-ab-bt+^{2}}{{a}^{2}-ab}$+$\frac{a+b-t}{a}$=1

點評 本題考查的知識點是直線的交點坐標(biāo)，建立坐標(biāo)系，求出點的坐標(biāo)，是解答的關(guān)鍵．