Question

1．在數(shù)列{a_n}，{b_n}中，{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)（n，S_n）在函數(shù)y=x²+2x的圖象上．{b_n}滿足$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=2，b₁=2
（1）求{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令C_n=a_n•b_n，求數(shù)列C_n的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知得${S}_{n}={{n}^{2}+2n}_{\;}$，由此能求出a_n=2n+1，n∈N^*．由已知得{b_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，由此能求出$_{n}={2}^{n}$．
（2）由C_n=a_n•b_n=（2n+1）•2ⁿ，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{C_n}的前n項(xiàng)和．

解答 解：（1）∵{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)（n，S_n）在函數(shù)y=x²+2x的圖象上，
∴${S}_{n}={{n}^{2}+2n}_{\;}$，
a₁=S₁=1+2=3，
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（n²+2n）-[（n-1）²+2（n-1）]=2n+1，
當(dāng)n=1時(shí)，2n+1=3=a₁，
∴a_n=2n+1，n∈N^*．
∵{b_n}滿足$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=2，b₁=2，
∴{b_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴$_{n}={2}^{n}$．
（2）∵C_n=a_n•b_n=（2n+1）•2ⁿ，
∴數(shù)列{C_n}的前n項(xiàng)和：
T_n=3•2+5•2²+7•2³+…+（2n+1）•2ⁿ，①
2T_n=3•2²+5•2³+7•2⁴+…+（2n+1）•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：$-{T}_{n}=6+{2}^{3}+{2}^{4}+…+{2}^{n+1}$-（2n+1）•2ⁿ⁺¹
=2+2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-（2n+1）•2ⁿ⁺¹
=$\frac{2（1-{2}^{n+1}）}{1-2}$-（2n+1）•2ⁿ⁺¹
=（1-2n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（2n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．