Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx（其中ω＞0）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)公差為$\frac{π}{2}$的等差數(shù)列，把函數(shù)f（x）的圖象沿x軸向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位得到函數(shù)g（x）的圖象，則g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（　　）

• A． [kπ，$\frac{π}{2}$+kπ]，k∈Z
• B． [-$\frac{π}{2}$+kπ，kπ]，k∈Z
• C． [-$\frac{π}{4}$+kπ，$\frac{π}{4}$+kπ]，k∈Z
• D． [$\frac{π}{4}$+kπ，$\frac{3π}{4}$+kπ]，k∈Z

Answer 1

分析 由題意可得，函數(shù)f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$），周期為$2×\frac{π}{2}$=π，再由$\frac{2π}{ω}$=π，可得函數(shù)f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．再由函數(shù)f（x）的圖象沿x軸向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位得到函數(shù)g（x）的圖象，求出g（x）=2cos2x，由此能求出g（x）的減區(qū)間．

解答 解：f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx（其中ω＞0）
=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$），
∵函數(shù)f（x）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)公差為$\frac{π}{2}$的等差數(shù)列，
∴函數(shù)的周期為$2×\frac{π}{2}$=π，再由$\frac{2π}{ω}$=π，解得ω=2，
∴函數(shù)f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∵把函數(shù)f（x）的圖象沿x軸向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位得到函數(shù)g（x）的圖象，
∴g（x）=2sin[2（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2cos2x，
∴g（x）的減區(qū)間滿足2kπ≤2x≤π+2kπ，k∈Z，
即$π≤x≤\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z，
∴g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[kπ，$\frac{π}{2}$+kπ]，k∈Z．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的減區(qū)間的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意三角函數(shù)的平移變換、三角函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．