Question

定義在R上的可導函數f（x）滿足f（x+2）-f（x）=2f（1），y=f（x+1）的圖象關于直線x=-1對稱，且當x∈[2，4]時，f（x）=x²+2xf′（2），則f（-

1

2

）與f（

16

3

）的大小關系是（　�。�

• A、f（-

  1

  2

  ）=f（

  16

  3

  ）
• B、f（-

  1

  2

  ）＜f（

  16

  3

  ）
• C、f（-

  1

  2

  ）＞f（

  16

  3

  ）
• D、不確定

Answer 1

考點：導數的運算

專題：函數的性質及應用,導數的概念及應用

分析：先根據函數的對數性得到函數關于y軸對稱，再求出函數f（x）為周期2的周期函數，再根據導數求出函數的解析式，判斷出函數餓單調性，問題得以解決．

解答： 解：若函數y=f（x+1）的圖象關于直線x=-1對稱，
將函數f（x+1）向右平移1個單位得到f（x）的圖象，則f（x）關于直線x=0對稱，
即函數f（x）是偶函數，
∵f（x+2）-f（x）=2f（1），
∴令x=-1得，f（-1+2）-f（-x）=2f（1），
即f（1）-f（1）=2f（1），解得f（1）=0，
即f（x+2）-f（x）=0，
∴f（x+2）=f（x）
即函數f（x）的周期是2，
∵f（x）=x²+2xf′（2），
∴f′（x）=2x+2f′（2），
令x=2，f′（2）=4+2f′（2），
解得f′（2）=-4，
∴f（x）=x²-8x=（x-4）²-16，
∴f（x）在[2，4]為減函數，
∴f（x）在[0，2]為減函數，
∵f（-

1

2

）=f（2-

1

2

）=f（

3

2

），f（

16

3

）=f（

16

3

-4）=f（

4

3

），
∴f（-

1

2

）＜f（

16

3

）
故選：B

點評：本題主要考查了導數運算，根據條件求出函數的對稱性，奇偶性以及周期性是解決本題的關鍵．綜合考查函數的性質的應用嗎，屬于中檔題．