Question

10．如圖所示，圓柱O₁O中，母線AB與底面垂直，BC是⊙O的直徑，點D是⊙O的圓周上異于B，C的點．
（1）求證：平面ABD⊥平面ADC；
（2）若BD=2，CD=4，AC=6，求圓柱O₁O的表面積．

Answer 1

分析 （1）推導出AB⊥CD，BD⊥CD，從而CD⊥平面ABD，由此能證明平面ABD⊥平面ADC．
（2）由勾股定理求出BC，AB，由此能求出圓柱O₁O的表面積．

解答 證明：（1）由已知可知AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，
∴AB⊥CD…（1分）
∵點D是⊙O的圓周上異于異于B，C的點，BC是⊙O的直徑，
∴∠BDC是直角，即BD⊥CD…（2分）
又∵AB?平面ABD，BD?平面ABD，AB∩BD=B，
∴CD⊥平面ABD，…（4分）
∵CD?平面ADC，
∴平面ABD⊥平面ADC．…（6分）
解：（2）在Rt△BCD中，BD=2，CD=4，∠BDC=90°，
∴$BC=\sqrt{B{D^2}+C{D^2}}=\sqrt{{2^2}+{4^2}}=2\sqrt{5}$，…（8分）
由（1）知AB⊥平面BCD，BC?平面BCD，
∴AB⊥BC，即∠ABC=90°
∴$AB=\sqrt{A{C^2}-B{C^2}}=\sqrt{{6^2}-{{（2\sqrt{5}）}^2}}=4$…（10分）
∴圓柱O₁O的表面積為：
S_表=S_側+2S_底=$2π•\frac{BC}{2}•AB+2π•{（\frac{BC}{2}）^2}$=$（8\sqrt{5}+10）π$．…（14分）

點評 本題考查面面垂直的證明，考查圓柱的表面積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．