Question

15．已知平面α的一個法向量$\overrightarrow n=（0，-\frac{1}{2}，-\sqrt{2}）$，A∈α，P∉α，且$\overrightarrow{PA}=（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}，\sqrt{2}）$，則直線PA與平面α所成的角為$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 設直線PA與平面α所成的角為θ，則sinθ=|cosα|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}|}{|\overline{n}||\overrightarrow{PA}|}$，即可得出．

解答 解：設直線PA與平面α所成的角為θ，則sinθ=|cosα|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}|}{|\overline{n}||\overrightarrow{PA}|}$=$\frac{|0-\frac{1}{4}-2|}{\sqrt{0+\frac{1}{4}+2}\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}+2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴直線PA與平面α所成的角為$\frac{π}{3}$．
故答案為：$\frac{π}{3}$．

點評 本題考查了線面角的計算公式、數(shù)量積運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．