Question

18．已知函數(shù)$y=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$在同一個(gè)周期上的最高點(diǎn)為（2，2），最低點(diǎn)為（8，-4）．
（1）求函數(shù)解析式．
（2）求出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）指出當(dāng)f（x）取得最大值和最小值時(shí)x的集合．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的最值求出A和B，由周期求出ω，由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象的單調(diào)性和對(duì)稱性求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（3）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象的單調(diào)性即可求出f（x）取得最大值和最小值時(shí)x的集合．

解答 解：（1）由同一周期中最高點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），最低點(diǎn)坐標(biāo)為（8，-4），
可得B=$\frac{2-4}{2}$=-1，A=2-（-1）=3，$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{ω}$=8-2，求得ω=$\frac{π}{6}$．
再把最高點(diǎn)坐標(biāo)（2，2），代入函數(shù)的解析式可得 2=3sin（$\frac{π}{3}$+φ）-1，
即sin（$\frac{π}{2}$+φ）=1，結(jié)合，|φ|＜$\frac{π}{2}$，可得φ=$\frac{π}{6}$，
故函數(shù)的解析式為y=3sin（$\frac{π}{6}$x+$\frac{π}{6}$）-1．
（2）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{π}{6}$x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得12k-4≤x≤12k+2，k∈z，
故函數(shù)的增區(qū)間為[12k-4，12k+2]，k∈z．
（3）當(dāng)$\frac{π}{6}$x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，即x∈{x|x=12k+2，k∈z}，f（x）取得最大值2．
當(dāng)$\frac{π}{6}$x+$\frac{π}{6}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈z，即x∈{x|x=12k-4，k∈z}，f（x）取得最小值-4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的最值求出A和B，由周期求出ω，由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求出φ的值，正弦函數(shù)的圖象的單調(diào)性和對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．