Question

6．已知tanα=2
（1）求sinα和cosα的值；
（2）求sin²α+3sinαcosα+1的值．

Answer 1

分析 （1）由tanα的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinα和cosα的值即可；
（2）原式利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系化簡，整理后將tanα的值代入計(jì)算即可求出值．

解答 解：（1）tanα=2=$\frac{sinα}{cosα}$＞0，
∴α是第一或第三象限角，
當(dāng)α是第一象限角時(shí)，結(jié)合sin²α+cos²α=1，有$\left\{\begin{array}{l}sinα=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}\\ cosα=\frac{{\sqrt{5}}}{5}\end{array}\right.$；
當(dāng)α是第三象限角時(shí)，結(jié)合sin²α+cos²α=1，有$\left\{\begin{array}{l}sinα=-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}\\ cosα=-\frac{{\sqrt{5}}}{5}\end{array}\right.$；
（2）∵tanα=2，sin²α+cos²α=1，
∴原式=$\frac{{{{sin}^2}α+3sinαcosα+1}}{1}$=$\frac{{2{{sin}^2}α+3sinαcosα+{{cos}^2}α}}{{{{sin}^2}α+{{cos}^2}α}}$=$\frac{2ta{n}^{2}α+3tanα+1}{ta{n}^{2}α+1}$=$\frac{8+6+1}{4+1}$=$\frac{15}{5}$=3．

點(diǎn)評 此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．