Question

17．設(shè){a_n}是等差數(shù)列，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，{b_n}是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a₁=b₁=1，a₃+b₂=7，S₂+b₂=6
（Ⅰ）求{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（II）a_n•b_n=（2n-1）•2^n-1．利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比q＞0，∵a₁=b₁=1，a₃+b₂=7，S₂+b₂=6，
∴a₃-（1+a₂）=1，∴d=2，∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．b₂=7-a₃=7-5=2．∴q=2，b_n=2^n-1．
（II）a_n•b_n=（2n-1）•2^n-1．
∴數(shù)列{a_n•b_n}的前n項和S_n=1+3×2+5×2²+…+（2n-1）×2^n-1，
2S_n=2+3×2²+…+（2n-3）×2^n-1+（2n-1）×2ⁿ，
∴-S_n=1+2×（2+2²+…+2^n-1）-（2n-1）×2ⁿ=1+2×$\frac{2（{2}^{n-1}-1）}{2-1}$-（2n-1）×2ⁿ=（3-2n）×2ⁿ-3，
∴S_n=（2n-3）×2ⁿ+3．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．