Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{{{（{x+1}）}^2}+ln（{\sqrt{1+9{x^2}}-3x}）cosx}}{{{x^2}+1}}$，且f（2017）=2016，則f（-2017）=（　�。�

• A． -2014
• B． -2015
• C． -2016
• D． -2017

Answer 1

分析 推導出函數(shù)f（x）=1+$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$+$\frac{cosx[-ln（\sqrt{1+9{x}^{2}}+3x）]}{{x}^{2}+1}$，令h（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}+\frac{cosln（\sqrt{1+9{x}^{2}}-3x）}{{x}^{2}+1}$，則h（x）是奇函數(shù)，由此能求出結(jié)果．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{{{{（{x+1}）}^2}+ln（{\sqrt{1+9{x^2}}-3x}）cosx}}{{{x^2}+1}}$，
=1+$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$+$\frac{（ln\frac{1}{\sqrt{1+9{x}^{2}+3x}}）•cosx}{{x}^{2}+1}$
=1+$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$+$\frac{cosx[-ln（\sqrt{1+9{x}^{2}}+3x）]}{{x}^{2}+1}$，
令h（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}+\frac{cosln（\sqrt{1+9{x}^{2}}-3x）}{{x}^{2}+1}$，
則h（-x）=-$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$+$\frac{cosx[-ln（\sqrt{1+9{x}^{2}}-3x）]}{{x}^{2}+1}$=-h（x），
即h（x）是奇函數(shù)，
∵f（2017）=1+h（2017）=2016，∴h（2017）=2016-1=2015，
∴f（-2017）=1+h（-2017）=1-h（2017）=1-2015=-2014．
故選：A．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性、函數(shù)值求法等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．