Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的長軸長為4，離心率為

1

2

，左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，
（1）求橢圓的方程；
（2）過F₂的直線l與橢圓交于不同的兩點M、N，求△F₁MN面積最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意知a=2，

c

a

=

1

2

，由此能求出橢圓方程．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），不妨設(shè)y₁＞0，y₂＜0，S△F1MN=

1

2

|F1F2|•（y₁-y₂）=y₁-y₂，設(shè)直線l的方程為x=my+1，由

x=my+1 x2 4 + y2 3 =1

，得（3m²+4）y²+6my-9=0，由此利用韋達(dá)定理、均值定理、函數(shù)的單調(diào)性能求出三角形面積的最大值．

解答： 解：（1）由題意知a=2，

c

a

=

1

2

，
∴c=1，b=

3

，故橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），不妨設(shè)y₁＞0，y₂＜0，
S△F1MN=

1

2

|F1F2|•（y₁-y₂）=y₁-y₂，
由題意知直線l的斜率不為0，設(shè)直線l的方程為x=my+1，
由

x=my+1 x2 4 + y2 3 =1

，得（3m²+4）y²+6my-9=0，
得y₁=

-3m+6 m2+1

3m2+4

，y₂=

-3m-6 m2+1

3m2+4

，
則S△F1MN=

1

2

F1F2（y₁-y₂）=y₁-y₂=

12 m2+1

3m2+4

，
令t=

m2+1

，則t≥1，則S△F1MN=

12 m2+1

3m2+4

=

12t

3t2+1

=

12

3t+ 1 t

，
令f（t）=3t+

1

t

，3t+

1

t

≥2

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)t=

3

3

時，等號成立，
當(dāng)t≥1時，f（t）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
有f（t）≥f（1）=4，S△F1MN≤

12

4

=3，
∴當(dāng)t=1，m=0時，所求三角形面積的最大值為3．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理、均值定理、函數(shù)的單調(diào)性的合理運用．