Question

2．已知正四面體ABCD的棱長為a，其外接球表面積為S₁，內(nèi)切球表面積為S₂，則S₁：S₂的值為（　�。�

• A． 3
• B． $3\sqrt{3}$
• C． 9
• D． $\frac{49}{4}$

Answer 1

分析 設(shè)點(diǎn)O是內(nèi)切球的球心，正四面體棱長為a，由圖形的對稱性知，點(diǎn)O也是外接球的球心，由此能求出S₁：S₂的值．

解答 解：如圖，設(shè)點(diǎn)O是內(nèi)切球的球心，正四面體棱長為a，
由圖形的對稱性知，點(diǎn)O也是外接球的球心．
設(shè)內(nèi)切球半徑為r，外接球半徑為R．
在Rt△BEO中，BO²=BE²+EO²，
即${R^2}={（\frac{{\sqrt{3}}}{3}a）^2}+{r^2}$，
又$R+r=\frac{{\sqrt{6}}}{3}a$，
解得R=3r，
∴${S_1}：{S_2}={R^2}：{r^2}=9$，
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查正四面體的外接球和內(nèi)切球表面積比值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意正四面體的定義，正四面體與球的位置關(guān)系、球的表面積等知識點(diǎn)的合理運(yùn)用．