Question

18．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球表面積為（　　）

• A． 4$\sqrt{3}$π
• B． 12π
• C． 24π
• D． 48π

Answer 1

分析 作出幾何體的直觀圖，根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征求出外接球的半徑，得出球的表面積．

解答 解：由三視圖可知幾何體為三棱錐P-ABC，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，
取PC中點O，AC中點D，連結(jié)OA，OD，BD，OB，則AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，PC=$\sqrt{P{A}^{2}+A{C}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
∴OP=OC=$\sqrt{3}$，OA=$\frac{1}{2}$PC=$\sqrt{3}$，BD=$\frac{1}{2}AC$=$\sqrt{2}$，OD=$\frac{1}{2}PA$=1，∴OB=$\sqrt{O{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴OA=OB=OC=OP，∴O是棱錐P-ABC外接球的球心，外接球半徑r=OA=$\sqrt{3}$，
∴外接球表面積S=4πr²=12π．
故選B．

點評 本題考查了棱錐的三視圖和結(jié)構(gòu)特征，球與內(nèi)接多面體的關(guān)系，屬于中檔題．