Question

17．已知斜率為1的直線l過橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的右焦點(diǎn)F交橢圓于A、B兩點(diǎn)，
（1）求焦點(diǎn)F的坐標(biāo)及其離心率 
（2）求弦AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出a，b，c即可求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，以及橢圓的離心率．
（2）設(shè)出AB坐標(biāo)，求出直線方程，聯(lián)立橢圓與直線方程，利用韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式求解即可．

解答 （1）解：∵a²=4，b²=1∴$a=2，c=\sqrt{{a^2}-{b^2}}=\sqrt{3}$…（2分）
∴$焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（\sqrt{3}，0）$…（4分）
離心率 e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$…（6分）
（2）解：由斜率為1的直線l過橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的右焦點(diǎn)F得直線l的方程為$y=x-\sqrt{3}$
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），…（7分）
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=x-\sqrt{3}}\\{\frac{x^2}{4}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$得：$5{x^2}-8\sqrt{3}x+8=0$…（8分）
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{8\sqrt{3}}}{5}，{x_1}•{x_2}=\frac{8}{5}$…（9分）

所以：$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}•{x_2}}$…（10分）
=$\sqrt{2}•\sqrt{\frac{192}{25}-\frac{32}{5}}$…（11分）
=$\frac{8}{5}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．