Question

16．某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是（　�。�

• A． 56+12$\sqrt{5}$
• B． 60+12$\sqrt{5}$
• C． 30+6$\sqrt{5}$
• D． 28+6$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐，求出各個面的面積，相加可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，還原出如圖的三棱錐A-BCD
底面Rt△BCD中，BC⊥CD，且BC=5，CD=4
側(cè)面△ABC中，高AE⊥BC于E，且AE=4，BE=2，CE=3
側(cè)面△ACD中，AC=$\sqrt{{AE}^{2}+{CE}^{2}}$=5
∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AE⊥BC
∴AE⊥平面BCD，結(jié)合CD?平面BCD，得AE⊥CD
∵BC⊥CD，AE∩BC=E
∴CD⊥平面ABC，結(jié)合AC?平面ABC，得CD⊥AC
因此，△ADB中，AB=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，BD=$\sqrt{{5}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{41}$，AD=$\sqrt{{5}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{41}$，
∴cos∠ADB=$\frac{41+41-20}{2×\sqrt{41}×\sqrt{41}}$=$\frac{31}{41}$，得sin∠ADB=$\sqrt{1-（\frac{31}{41}）^{2}}$=$\frac{12\sqrt{5}}{41}$，
由三角形面積公式，得S_△ADB=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{41}$×$\sqrt{41}$×$\frac{12\sqrt{5}}{41}$=6$\sqrt{5}$，
又∵S_△ACB=$\frac{1}{2}$×5×4=10，S_△ADC=S_△CBD=$\frac{1}{2}$×4×5=10
∴三棱錐的表面積是S_表=S_△ADB+S_△ADC+S_△CBD+S_△ACB=30+6$\sqrt{5}$，
故選：C

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是由三視圖，求體積和表面積，根據(jù)已知的三視圖，判斷幾何體的形狀是解答的關(guān)鍵．