Question

3．若直線ax+by-1=0（a•b＞0）平分圓C：x²+y²-2x-4y+1=0，則$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$的最小值為3+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求出圓心坐標(biāo)代入直線方程得到a，b的關(guān)系a+2b=1；將$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$乘以a+2b展開(kāi)，利用基本不等式，檢驗(yàn)等號(hào)能否取得，求出函數(shù)的最小值．

解答 解：圓C：x²+y²-2x-4y+1=0的圓心坐標(biāo)為（1，2）
因?yàn)橹本�平分圓，所以直線過(guò)圓心（1，2），
∴a+2b=1，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=（a+2b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）=3+$\frac{2b}{a}$+$\frac{a}$≥3+2$\sqrt{\frac{2b}{a}•\frac{a}}$=3+2$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a=$\sqrt{2}$b=$\sqrt{2}$-1取等號(hào)．
故答案為：3+2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線平分圓時(shí)直線過(guò)圓心、考查利用基本不等式求函數(shù)的最值需注意：一正、二定、三相等．