Question

18．對于函數(shù)f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，則稱x₀為f（x）的一個不動點．設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+bx+1（a＞0）．
（Ⅰ）當(dāng)a=2，b=-2時，求f（x）的不動點；
（Ⅱ）若f（x）有兩個相異的不動點x₁，x₂，
（�。┊�(dāng)x₁＜1＜x₂時，設(shè)f（x）的對稱軸為直線x=m，求證：m＞$\frac{1}{2}$；
（ⅱ）若|x₁|＜2且|x₁-x₂|=2，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=2，b=-2時，f（x）=2x²-2x+1，構(gòu)造方程f（x）=x，解得答案；
（Ⅱ）若f（x）有兩個相異的不動點x₁，x₂，則x₁，x₂是方程f （x）=x的兩相異根，
（�。┊�(dāng)x₁＜1＜x₂時，m=-$\frac{2a}$，結(jié)合韋達(dá)定理，可得m＞$\frac{1}{2}$；
（ⅱ）若|x₁|＜2且|x₁-x₂|=2，由韋達(dá)定理構(gòu)造關(guān)于b的不等式，解得實數(shù)b的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）依題意：f（x）=2x²-2x+1=x，即2x²-3x+1=0，
解得$x=\frac{1}{2}$或1，即f（x）的不動點為$\frac{1}{2}$和1； …（5分）
（Ⅱ）（�。� 由f （x）表達(dá)式得m=-$\frac{2a}$，
∵g（x）=f （x）-x=a x²+（b-1）x+1，a＞0，
由x₁，x₂是方程f （x）=x的兩相異根，且x₁＜1＜x₂，
∴g（1）＜0⇒a+b＜0⇒-$\frac{a}$＞1⇒-$\frac{2a}$＞$\frac{1}{2}$，即 m＞$\frac{1}{2}$．  …（9分）
（ⅱ）△=（b-1）²-4a＞0⇒（b-1）²＞4a，
x₁+x₂=$\frac{1-b}{a}$，x₁x₂=$\frac{1}{a}$，
∴|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（$\frac{1-b}{a}$）²-$\frac{4}{a}$=2²，…（11分）
∴（b-1）²=4a+4a²（*）
又|x₁-x₂|=2，
∴x₁、x₂ 到 g（x） 對稱軸 x=$\frac{1-b}{2a}$的距離都為1，
要使g（x）=0 有一根屬于 （-2，2），
則 g（x） 對稱軸 x=$\frac{1-b}{2a}$∈（-3，3），…（13分）
∴-3＜$\frac{b-1}{2a}$＜3⇒a＞$\frac{1}{6}$|b-1|，
把代入 （*） 得：（b-1）²＞$\frac{2}{3}$|b-1|+$\frac{1}{9}$（b-1）²，
解得：b＜$\frac{1}{4}$或 b＞$\frac{7}{4}$，
∴b 的取值范圍是：（-∞，$\frac{1}{4}$）∪（ $\frac{7}{4}$，+∞）．…（15分）

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，韋達(dá)定理，是二次方程與二次函數(shù)，二次不等式的綜合應(yīng)用，難度較大．