Question

3．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足4（S_n+1）=$\frac{{{{（{n+2}）}^2}}}{n+1}{a_n}（{n∈{N^*}}）$
（1）求數(shù)列的通項公式a_n
（2）設(shè)b_n=$\frac{n+1}{a_n}$，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求證：T_n＜$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n≥2時，將n換為n-1，兩式相減，可得$\frac{a_n}{{{{（{n+1}）}^3}}}=\frac{{{a_{n-1}}}}{n^3}=…=\frac{a_2}{3^3}$，求得a₂，即可得到所求通項；
（2）求得${b_n}=\frac{n+1}{a_n}=\frac{1}{{{{（{n+1}）}^2}}}＜\frac{1}{{n（{n+1}）}}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+!}$，再由裂項相消求和，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 解：（1）當(dāng)n≥2時，有4（S_n+1）=$\frac{{{{（{n+2}）}^2}}}{n+1}{a_n}（{n∈{N^*}}）$，
4（S_n-1+1）=$\frac{（n+1）^{2}}{n}$a_n-1，
兩式相減可得$4{a_n}=\frac{{{{（{n+2}）}^2}}}{n+1}{a_n}-\frac{{{{（{n+1}）}^2}}}{n}{a_{n-1}}$，
即$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{{{{（{n+1}）}^3}}}{n^3}$，
∴$\frac{a_n}{{{{（{n+1}）}^3}}}=\frac{{{a_{n-1}}}}{n^3}=…=\frac{a_2}{3^3}$
又當(dāng)n=1時，a₁=8，n=2時，a₂=27，
∴${a_n}={（{n+1}）^3}$；
（2）證明：${b_n}=\frac{n+1}{a_n}=\frac{1}{{{{（{n+1}）}^2}}}＜\frac{1}{{n（{n+1}）}}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+!}$，
∴${T_n}＜\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{{n（{n+1}）}}$
=$\frac{1}{4}$+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}＜\frac{3}{4}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項的求法，注意運用數(shù)列的通項和前n項和的關(guān)系，考查數(shù)列不等式的證明，注意運用放縮法和裂項相消求和，考查運算能力，屬于中檔題．