Question

8．已知函數(shù)f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1；
（1）求函數(shù)f（x）的對(duì)稱中心；
（2）若存在區(qū)間[a，b]（a，b∈R且a＜b），使得y=f（x）在[a，b]上至少含有6個(gè)零點(diǎn)，在滿足上述條件的[a，b]中，求b-a的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱性進(jìn)行求解即可．
（2）根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的條件，求出相鄰兩個(gè)零點(diǎn)的間隔，進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）由2x+$\frac{π}{3}$=kπ得x=-$\frac{π}{6}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z．
對(duì)于函數(shù)f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1，對(duì)稱中心為（-$\frac{π}{6}$+$\frac{kπ}{2}$，1），k∈Z．
（2）令f（x）=0，求出 sin（2x+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，
∴x=kπ-$\frac{π}{4}$，或x=kπ-$\frac{7π}{12}$，
故相鄰的零點(diǎn)之間的間隔依次為$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$．
y=f（x）在[a，b]上至少含有6個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于b-a的最小值為 2×$\frac{2π}{3}$+3×$\frac{π}{3}$=$\frac{7π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)的對(duì)稱性和函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．