Question

6．已知拋物線y²=4x的焦點為F，A、B為拋物線上兩點，若$\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}$，O為坐標原點，則△AOB的面積為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{8\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線的定義，不難求出，|AB|=2|AE|，由拋物線的對稱性，不妨設(shè)直線的斜率為正，所以直線AB的傾斜角為60°，可得直線AB的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，求出A，B的坐標，即可求出△AOB的面積．

解答 解：如圖所示，根據(jù)拋物線的定義，不難求出，|AB|=2|AE|，由拋物線的對稱性，不妨設(shè)直線的斜率為正，所以直線AB的傾斜角為60°，直線AB的方程為$y=\sqrt{3}（x-1）$，
聯(lián)立直線AB與拋物線的方程可得：$\left\{\begin{array}{l}y=\sqrt{3}（x-1）\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，解之得：$A（3，2\sqrt{3}）$，$B（\frac{1}{3}，-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）$，
所以$|{AB}|=\sqrt{{{（3-\frac{1}{3}）}^2}+{{（2\sqrt{3}+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）}^2}}=\frac{16}{3}$，
而原點到直線AB的距離為$d=\frac{{|{\sqrt{3}}|}}{2}$，
所以${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}×|{AB}|×d=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，當直線AB的傾斜角為120°時，同理可求．
故應(yīng)選C．

點評 本題考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)，考查直線與拋物線的相交問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．