Question

2．若函數(shù)f（x）在定義域D內(nèi)的某個區(qū)間I上是增函數(shù)，且F（x）=$\frac{f（x）}{x}$在I上也是增函數(shù)，則稱y=f（x）是I上的“完美增函數(shù)”．已知f（x）=e^x+x，g（x）=lnx-1．
（1）判斷函數(shù)f（x）是否為區(qū)間（0，+∞）上的“完美增函數(shù)”；
（2）若函數(shù)g（x）是區(qū)（0，m]上的“完美增函數(shù)”，求整數(shù)m的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)判斷f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，F(xiàn)（x）在區(qū)間（0，+∞）上不一定是增函數(shù)，即得函數(shù)f（x）不是區(qū)間（0，+∞）上的“完美增函數(shù)”；
（2）根據(jù)函數(shù)g（x）是區(qū)間（0，+∞）是單調(diào)增函數(shù)，求出函數(shù)G（x）=$\frac{g（x）}{x}$的單調(diào)增區(qū)間，即可得出g（x）是區(qū)（0，m]上的“完美增函數(shù)”時整數(shù)m的最大值．

解答 解：（1）∵f（x）=e^x+x，∴f′（x）=e^x+1＞0，
∴f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)；
又∵F（x）=$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{{e}^{x}}{x}$+1，
∴F′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$≥0在區(qū)間（0，+∞）上不恒成立，
∴F（x）在區(qū)間（0，+∞）上不一定是增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）不是區(qū)間（0，+∞）上的“完美增函數(shù)”；
（2）函數(shù)g（x）=lnx-1在區(qū)間（0，+∞）是單調(diào)增函數(shù)，
設(shè)G（x）=$\frac{g（x）}{x}$=$\frac{lnx-1}{x}$，
∴G′（x）=$\frac{2-lnx}{{x}^{2}}$，x＞0，
令G′（x）=0，解得lnx=2，即x=e²；
∴當(dāng)0＜x≤e²時，G′（x）≥0，函數(shù)G（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞e²時，G′（x）＜0，函數(shù)G（x）單調(diào)遞減；
∴當(dāng)x∈（0，e²]時，g（x）與G（x）都為單調(diào)遞增函數(shù)，是“完美函數(shù)”；
即函數(shù)g（x）是區(qū)（0，m]上的“完美增函數(shù)”時，整數(shù)m的最大值為[e²]=7．

點評 本題以新定義的形式考查函數(shù)的單調(diào)性，考查運用所學(xué)知識分析解決新問題的能力，構(gòu)造函數(shù)，求解導(dǎo)數(shù)，判斷的遞增，思路要清晰，屬于難題．