Question

18．已知某圓錐曲線和橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1有相同的焦點，且經(jīng)過圓（x-4）²+（y+$\sqrt{15}$）²=64的圓心，求此圓錐曲線的方程．

Answer 1

分析 由已知橢圓方程求出橢圓的焦點坐標(biāo)，求出圓的圓心坐標(biāo)，然后分所求曲線是橢圓和雙曲線討論，利用定義求出橢圓的長半軸和雙曲線的實半軸，再由隱含條件求出對應(yīng)的短半軸和虛半軸，則圓錐曲線方程可求．

解答 解：由橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，得${{a}_{1}}^{2}=25，{_{1}}^{2}=16$，∴${c}^{2}={{a}_{1}}^{2}-{_{1}}^{2}=9$．
∴橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的焦點坐標(biāo)為F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0）．
又圓（x-4）²+（y+$\sqrt{15}$）²=64的圓心坐標(biāo)為（4，-$\sqrt{15}$），
若所求圓錐曲線為橢圓，則2a=$\sqrt{（4+3）^{2}+（-\sqrt{15}）^{2}}+\sqrt{（4-3）^{2}+（-\sqrt{15}）^{2}}$=12．
∴a=6，則b²=a²-c²=36-9=27．
橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{27}=1$；
若所求圓錐曲線為雙曲線，則2a=$\sqrt{（4+3）^{2}+（-\sqrt{15}）^{2}}-\sqrt{（4-3）^{2}+（-\sqrt{15}）^{2}}$=4．
∴a=2，則b²=c²-a²=9-4=5．
雙曲線方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{5}=1$．

點評 本題是圓與圓錐曲線的綜合題，考查了橢圓、雙曲線的定義，考查了橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)，是中檔題．