Question

8．如圖，從海岸線上的港口A到海上油井B要鋪設(shè)一條石油運(yùn)輸管道，B離海岸線的最近點(diǎn)C為10海里，C和A的距離為10$\sqrt{3}$海里，已知在海岸線上鋪設(shè)石油管道的價(jià)格為a元/海里，在海底鋪設(shè)石油管道的價(jià)格為2a元/海里．在海岸AC上選點(diǎn)D，先在AC上選點(diǎn)D，先在海岸上鋪設(shè)石油管道AD，再在海底鋪設(shè)石油管道BD，設(shè)鋪設(shè)石油管道的總費(fèi)用為y元．
（1）按下列要求寫(xiě)出函數(shù)關(guān)系式：
①設(shè)∠BDC=θ（rad），將y表示為θ的函數(shù)關(guān)系式；
②設(shè)CD=x（海里），將y表示為x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）請(qǐng)你選用（1）中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，確定D的位置，使得鋪設(shè)石油管道的費(fèi)用最少．

Answer 1

分析 （1）①設(shè)∠BDC=θ（rad），則BD=$\frac{10}{sinθ}$，AD=AC-CD=10$\sqrt{3}$-$\frac{10}{tanθ}$，進(jìn)而可將y表示為θ的函數(shù)關(guān)系式；②設(shè)CD=x（海里），則BD=$\sqrt{{CD}^{2}+{BC}^{2}}$=$\sqrt{100+{x}^{2}}$，AD=AC-CD=10$\sqrt{3}$-x，進(jìn)而可將將y表示為x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）利用導(dǎo)數(shù)法分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得滿足條件的D點(diǎn)的位置．

解答 解：（1）①設(shè)∠BDC=θ（rad），
則BD=$\frac{10}{sinθ}$，AD=AC-CD=10$\sqrt{3}$-$\frac{10}{tanθ}$，
則y=$\frac{20}{sinθ}a$+（10$\sqrt{3}$-$\frac{10}{tanθ}$）a=$\frac{20[1+（sinθ-\frac{π}{6}）]}{sinθ}a$，
②設(shè)CD=x（海里），則BD=$\sqrt{{CD}^{2}+{BC}^{2}}$=$\sqrt{100+{x}^{2}}$，
AD=AC-CD=10$\sqrt{3}$-x，
則y=（10$\sqrt{3}$-x+2$\sqrt{100+{x}^{2}}$）a；
（2）選用①，則y=$\frac{20[1+（sinθ-\frac{π}{6}）]}{sinθ}a$得：y′=$\frac{1-2cosθ}{{sin}^{2}θ}•10a$，
當(dāng)θ∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$）時(shí)，y′＜0，函數(shù)為減函數(shù)，
當(dāng)θ∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）時(shí)，y′＞0，函數(shù)為減函數(shù)，
故當(dāng)θ=$\frac{π}{3}$時(shí)，D位置AC靠近C的三等分點(diǎn)的位置時(shí)，y取最小值，即鋪設(shè)石油管道的費(fèi)用最少．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)法分析函數(shù)的單調(diào)性與最值，難度中檔．