Question

19．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F．
（1）證明平面PAC⊥平面PBD；
（2）證明PB⊥平面EFD．

Answer 1

分析 （1）推導出AC⊥BD，AC⊥PD，從而AC⊥平面PBD，由此能證明平面PAC⊥平面PBD．
（2）推導出DE⊥PC，BC⊥DC，BC⊥PD，從而DE⊥平面PBC由此能證明PB⊥平面EFD．

解答 證明：（1）∵在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵側棱PD⊥底面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PD．
又∵BD∩PD=D，∴AC⊥平面PBD．
又∵AC?平面PAC，
∴由平面與平面垂直的判定定理知，平面PAC⊥平面PBD…（4分）
（2）在△PDC中，由PD=DC，E是PC的中點，知DE⊥PC．
由底面ABCD是正方形，知BC⊥DC，
由側棱PD⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，知BC⊥PD，
又DC∩PD=D，故BC⊥平面PCD．而DE?平面PCD，所以DE⊥BC．
由DE⊥PC，DE⊥BC及PC∩BC=C，知DE⊥平面PBC．
又PB?平面PBC，故DE⊥PB．又已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，
∴PB⊥平面EFD．…（10分）

點評 本題考查面面垂直、線面垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．