19.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點,作EF⊥PB交PB于點F.
(1)證明平面PAC⊥平面PBD;
(2)證明PB⊥平面EFD.

分析 (1)推導出AC⊥BD,AC⊥PD,從而AC⊥平面PBD,由此能證明平面PAC⊥平面PBD.
(2)推導出DE⊥PC,BC⊥DC,BC⊥PD,從而DE⊥平面PBC由此能證明PB⊥平面EFD.

解答 證明:(1)∵在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,
∴AC⊥BD,
∵側棱PD⊥底面ABCD,AC?平面ABCD,∴AC⊥PD.
又∵BD∩PD=D,∴AC⊥平面PBD.
又∵AC?平面PAC,
∴由平面與平面垂直的判定定理知,平面PAC⊥平面PBD…(4分)
(2)在△PDC中,由PD=DC,E是PC的中點,知DE⊥PC.
由底面ABCD是正方形,知BC⊥DC,
由側棱PD⊥底面ABCD,BC?底面ABCD,知BC⊥PD,
又DC∩PD=D,故BC⊥平面PCD.而DE?平面PCD,所以DE⊥BC.
由DE⊥PC,DE⊥BC及PC∩BC=C,知DE⊥平面PBC.
又PB?平面PBC,故DE⊥PB.又已知EF⊥PB,且EF∩DE=E,
∴PB⊥平面EFD.…(10分)

點評 本題考查面面垂直、線面垂直的證明,是中檔題,解題時要認真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).

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