Question

4．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求直線A₁B和平面A₁B₁CD所成的角為（　�。�

• A． $\frac{π}{12}$
• B． $\frac{π}{6}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{π}{3}$

Answer 1

分析 以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線A₁B和平面A₁B₁CD所成的角．

解答 解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，
則A₁（1，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0），C（0，1，0），
$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（0，1，-1），$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（1，0，1），$\overrightarrow{DC}$=（0，1，0），
設(shè)平面A₁B₁CD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{DA}_{1}}=x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=y=0}\end{array}\right.$，取x=1，則$\overrightarrow{n}$=（1，0，-1），
設(shè)直線A₁B和平面A₁B₁CD所成的角為θ，
sinθ=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}B}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|1|}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴θ=$\frac{π}{6}$，
∴直線A₁B和平面A₁B₁CD所成的角為$\frac{π}{6}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查線面角的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．