Question

7．已知函數(shù)f（x）=log_a（1-2x）-log_a（1+2x）（a＞0，a≠1）．
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性并予以證明；
（3）求使f（x）＞0的x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)成立的條件即可求出函數(shù)的定義域．
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷和證明．
（3）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解不等式即可．

解答 解：（1）要使函數(shù)有意義，則$\left\{{\begin{array}{l}{1+2x＞0}\\{1-2x＞0}\end{array}}\right.⇒-\frac{1}{2}＜x＜\frac{1}{2}$，
∴f（x）的定義域?yàn)?（{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}）$．…（3分）
（2）定義域?yàn)?（{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}）$，關(guān)于原點(diǎn)對稱
又∵f（-x）=log_a（1-2x）-log_a（1+2x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)..…（6分）
（3）f（x）＞0⇒log_a（1-2x）-log_a（1+2x）＞0⇒log_a（1-2x）＞log_a（1+2x）．…（7分）
當(dāng)a＞1時(shí)，原不等式等價(jià)為：1+2x＜1-2x⇒x＜0．…（9分）
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，原不等式等價(jià)為：1+2x＞1-2x⇒x＞0．…（11分）
又∵f（x）的定義域?yàn)?（{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}）$
∴使f（x）＞0的x的取值范圍，當(dāng)a＞1時(shí)為$（{-\frac{1}{2}，0}）$；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)為$（{0，\frac{1}{2}}）$；．…（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)定義域和函數(shù)奇偶性的判斷，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．