Question

19．設(shè)函數(shù)$f（x）=2ax-\frac{a}{x}+lnx$
（1）當(dāng)$a=-\frac{1}{3}時(shí)$，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
（2）若f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)$a=-\frac{1}{3}時(shí)$，函數(shù)$f（x）=-\frac{2}{3}x+\frac{1}{3x}+lnx$，x＞0，利用導(dǎo)數(shù)法，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
（2）若f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，則$f′（x）=2a+\frac{a}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}$=$\frac{2{ax}^{2}+x+a}{{x}^{2}}$≥0，或$f′（x）=2a+\frac{a}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}$=$\frac{2{ax}^{2}+x+a}{{x}^{2}}$≤0恒成立，分類討論，可得a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)$a=-\frac{1}{3}時(shí)$，函數(shù)$f（x）=-\frac{2}{3}x+\frac{1}{3x}+lnx$，x＞0，
則$f′（x）=-\frac{2}{3}-\frac{1}{3{x}^{2}}+\frac{1}{x}$=$-\frac{2{x}^{2}-3x+1}{3{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，則x=$\frac{1}{2}$，或x=1，
當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{2}$）∪（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（$\frac{1}{2}$，1）時(shí)，f′（x）＞0，
故函數(shù)$f（x）=-\frac{2}{3}x+\frac{1}{3x}+lnx$的單調(diào)遞減區(qū)間為：（0，$\frac{1}{2}$）和（1，+∞）；
單調(diào)遞增區(qū)間為：（$\frac{1}{2}$，1）；
（2）若f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，
則$f′（x）=2a+\frac{a}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}$=$\frac{2{ax}^{2}+x+a}{{x}^{2}}$≥0，或$f′（x）=2a+\frac{a}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}$=$\frac{2{ax}^{2}+x+a}{{x}^{2}}$≤0恒成立，
當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）＞0恒成立，滿足條件；
當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）＞0恒成立，滿足條件；
當(dāng)a＜0時(shí)，則$\frac{8{a}^{2}-1}{8a}≤0$，解得：a≤-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
綜上所述，a≤-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，或a≥0

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)符號(hào)與原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，恒成立問題，分類討論思想，難度中檔．