Question

8．已知等差數(shù)列{a_n}的公差不為零，a₂=4，且a₁，a₃，a₁₇成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{n-λ}{{a}_{n}}$，若數(shù)列{b_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）b_n=$\frac{n-λ}{{a}_{n}}$=$\frac{n-λ}{3n-2}$，設(shè)f（x）=$\frac{x-λ}{3x-2}$，x＞0，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性即可求出λ的范圍．

解答 解（1）∵a₂=4，且a₁，a₃，a₁₇成等比數(shù)列．
∴a₃²=a₁a₁₇，
∴（4+d）²=（4-d）（4+15d），
∵d≠0，解得d=4，…（4分）
∴a_n=a₂+（n-2）d=4+3（n-2）=3n-2；
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=3n-2，
（2）∵b_n=$\frac{n-λ}{{a}_{n}}$=$\frac{n-λ}{3n-2}$，
設(shè)f（x）=$\frac{x-λ}{3x-2}$，x＞0
∴f′（x）=$\frac{3x-2-3（x-λ）}{（3x-2）^{2}}$=$\frac{3λ-2}{（3x-2）^{2}}$，
∵數(shù)列{b_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，
∴y=f（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，
∴f′（x）≥0，
∴3λ-2≥0，
∴λ≥$\frac{2}{3}$
故λ的范圍為[$\frac{2}{3}$，+∞）．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式，數(shù)列的函數(shù)特征，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．