已知數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=
an2-2an+2
+1．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)bn=an+an+1-2，證明
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
＜
n+1
．
考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合
專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析：（Ⅰ）證明{（an-1）2}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，即可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn=an+an+1-2=
n+1
+
n
，可得
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
=
2
-1+
3
-
2
+…+
n+1
-
n
=
n+1
-1，即可證明結(jié)論．
解答： （Ⅰ）解：∵an+1=
an2-2an+2
+1，
∴（an+1-1）2-（an-1）2=1，
又（a1-1）2=1
∴{（an-1）2}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列…（4分）
∴（an-1）2=n
∴an-1=
n
，∴an=
n
+1…（7分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，bn=an+an+1-2=
n+1
+
n

∴
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
=
2
-1+
3
-
2
+…+
n+1
-
n

=
n+1
-1
于是，
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
＜
n+1
．…（12分）
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2ax+2，x∈[-5，5]
（1）若y=f（x）在區(qū)間[-5，5]上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（x）的最小值g（a）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx+2．
（1）試判斷f（x）的奇偶性；
（2）設(shè)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值為g（b），求g（b）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)x，y滿足約束條件
3x-y-6≤0
x-y+2≥0
x≥0
y≥0
，則目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為12，則
2
a
+
3
b
的最小值為（　�。�
A、
25
3
B、
25
6
C、6
D、5

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)l，m是兩條不同的直線，α是一個平面，則下列命題正確的是（　�。�
A、若l∥α，m⊥α，則l⊥m
B、若l⊥m，m∥α則l⊥α
C、若l⊥m，m⊥α，則l∥α
D、若l∥α，m∥α則l∥m

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

變量x，y滿足約束條件
x-3y+2≤0
x+y-6≤0
x-y≥0
時，x-2y+m≤0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（　　）
A、[0，+∞）
B、[1，+∞）
C、（-∞，3]
D、（-∞，0]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）=loga（x+b）（a＞0，a≠1）的大致圖象如圖所示，則函數(shù)g（x）=ax+b的大致圖象為（　�。�
A、
B、
C、
D、

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=log3
1-x
1-mx
（m≠1）是奇函數(shù)．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）設(shè)g（x）=
1-x
1-mx
，用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；函數(shù)y=g（x）在區(qū)間（-1，1）上單調(diào)遞減；
（3）解不等式：f（t+3）＜0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）=loga（x+1）的定義域和值域都為[0，1]，則a的值為（　�。�
A、2
B、
1
2
C、3
D、
1
3

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