Question

15．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0），點P的坐標為（x₀，y₀）．
（1）如P（x₀，y₀）為橢圓C內一點，直線L與C相交于A，B兩點，且P（x₀，y₀）為線段AB的中點，求直線L方程；
（2）如P（x₀，y₀）為橢圓C上一點，求過P點的切線方程，并比較此方程與（1）問中直線L方程的表達式有何關系；
（3）如P（x₀，y₀）為橢圓外一點，過點P作橢圓C的兩條切線，切點分別為A，B，求過A，B的直線方程．

Answer 1

分析 （1）設出AB坐標，利用平方差法求出AB 的斜率，然后求解直線方程．
（2）直接寫出切線方程，然后比較兩條直線的位置關系．
（3）首先求出過橢圓上任意一點的切線方程，得到過橢圓的兩條切線切點為P₁，P₂的切線方程，結合兩直線均過P（x₀，y₀），可得 $\frac{{{x}_{0}x}_{1}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{0}y}_{1}}{^{2}}$=1，$\frac{{{x}_{0}x}_{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{0}y}_{2}}{^{2}}$=1．由此說明A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）均在直線 $\frac{{xx}_{0}}{{a}^{2}}+\frac{{yy}_{0}}{^{2}}$=1上．即可得到切點弦AB所在的直線方程．

解答 解：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB是橢圓上的點，
可得：$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}=1$，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{^{2}}=1$，兩式作差化簡可得：$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}=-\frac{^{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{a}^{2}（{y}_{1}+{y}_{2}）}$=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}•\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$，
直線L方程：y-y₀=$-\frac{^{2}}{{a}^{2}}•\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$（x-x₀）．即：$^{2}{x}_{0}x+{a}^{2}{y}_{0}y={a}^{2}{{y}_{0}}^{2}+^{2}{{x}_{0}}^{2}$．
（2）P（x₀，y₀）為橢圓C上一點，求過P點的切線方程為：$\frac{x•{x}_{0}}{{a}^{2}}+\frac{y•{y}_{0}}{^{2}}=1$．即$^{2}{x}_{0}x+{a}^{2}{y}_{0}y={a}^{2}^{2}$，
過P點的切線方程與（1）問中直線L方程的表達式是平行線．
（3）設M（m，n）為橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$上一點，
當M在x軸上方時，
由$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1得y=$y=\frac{a}\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}$，y′=-$\frac{a}$•$\frac{x}{\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}}$，
過M點的橢圓的切線的斜率k=y′|_x=m=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$•$\frac{m}{n}$．
由點斜式得：y-n=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$•$\frac{m}{n}$（x-m），
b²mx+a²ny=b²m²+a²n²=a²b²，
即$\frac{mx}{{a}^{2}}+\frac{ny}{^{2}}$=1．
當M點是橢圓與x軸的兩交點時，上式顯然成立，
當M在x軸下方時，由對稱性可知過M點的橢圓的切線的方程為 $\frac{mx}{{a}^{2}}+\frac{ny}{^{2}}$=1．
綜上可知，過M點的橢圓的切線的方程為 $\frac{mx}{{a}^{2}}+\frac{ny}{^{2}}$=1．
再設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由上可知，過A的切線方程為$\frac{{xx}_{1}}{{a}^{2}}+\frac{{yy}_{1}}{^{2}}$=1，
過B的切線方程為 $\frac{{xx}_{2}}{{a}^{2}}+\frac{{yy}_{2}}{^{2}}$=1．
又兩切線均過P（x₀，y₀），
∴$\frac{{{x}_{0}x}_{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{0}y}_{2}}{^{2}}$=1，$\frac{{{x}_{0}x}_{1}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{0}y}_{1}}{^{2}}$=1．
說明A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）均在直線 $\frac{{xx}_{0}}{{a}^{2}}+\frac{{yy}_{0}}{^{2}}$=1上．
∵過兩點的直線唯一，
∴切點弦AB所在的直線方程為：$\frac{{xx}_{0}}{{a}^{2}}+\frac{{yy}_{0}}{^{2}}$=1．

點評 本題考查了直線與橢圓的關系，考查了橢圓的切點弦方程的求法，訓練了統一法求曲線的方程，是壓軸題．