Question

14．設(shè)函數(shù)$f（x）=3sin（2x+\frac{π}{3}）$，給出四個(gè)命題：
①它的周期是π；
②它的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{12}$成軸對(duì)稱；
③它的圖象關(guān)于點(diǎn)（-$\frac{π}{3}$，0）成中心對(duì)稱；
④它在區(qū)間[-$\frac{5π}{12}$，$\frac{π}{12}$]上是減函數(shù)．
其中正確命題的序號(hào)是①②．

Answer 1

分析 ①根據(jù)周期公式T=$\frac{2π}{ω}$求解；②根據(jù)函數(shù)在對(duì)稱軸處取得函數(shù)的最值，把x=$\frac{π}{12}$代入驗(yàn)證；
③求函數(shù)的對(duì)稱中心，令2x-$\frac{π}{3}$=kπ，從而可得x；④令-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$，求解x．

解答 解：①根據(jù)周期公式T=$\frac{2π}{ω}$=π，故①正確，
②∵函數(shù)在對(duì)稱軸處取得函數(shù)的最值，f（$\frac{π}{12}$）=3sin（2×$\frac{π}{12}$+$\frac{π}{3}$）=3為最大值故②正確，
③根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性可得，2x-$\frac{π}{3}$=kπ⇒x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，當(dāng)k=-1時(shí)x=-$\frac{π}{3}$，故③錯(cuò)誤，
④令-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$可得-$\frac{5π}{12}$≤x≤$\frac{π}{12}$，
即函數(shù)在[-$\frac{5π}{12}$，$\frac{π}{12}$]上是增函數(shù)故④錯(cuò)誤，
故答案為：①②．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了三角函數(shù)y=Asin（ωx+∅）（A＞0，ω＞0）的性質(zhì)：函數(shù)的周期公式T=$\frac{2π}{ω}$的運(yùn)用；函數(shù)對(duì)稱軸的求解：令ωx+φ=kπ+$\frac{π}{2}$從而求解x；對(duì)稱中心的求解：令ωx+φ=kπ；函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解：令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤ωx+φ≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，求解函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，令$\frac{π}{2}$+2kπ≤ωx+φ≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，求解函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．