11.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=2,4an+2=4an+1-an-1(n∈N*),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

分析 把已知數(shù)列遞推式變形,可得${a}_{n+2}-\frac{1}{2}{a}_{n+1}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}({a}_{n+1}-\frac{1}{2}{a}_{n}+\frac{1}{2})$,說明數(shù)列{${a}_{n+1}-\frac{1}{2}{a}_{n}+\frac{1}{2}$}是以${a}_{2}-\frac{1}{2}{a}_{1}+\frac{1}{2}=2$為首項(xiàng),以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列,求其通項(xiàng)公式后,兩邊同乘以2n+1得:${2}^{n+1}{a}_{n+1}-{2}^{n}{a}_{n}+{2}^{n}=8$,再由累加法求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解答 解:由4an+2=4an+1-an-1,得${a}_{n+2}={a}_{n+1}-\frac{1}{4}{a}_{n}-\frac{1}{4}$,
于是有${a}_{n+2}-\frac{1}{2}{a}_{n+1}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}({a}_{n+1}-\frac{1}{2}{a}_{n}+\frac{1}{2})$,
∴數(shù)列{${a}_{n+1}-\frac{1}{2}{a}_{n}+\frac{1}{2}$}是以${a}_{2}-\frac{1}{2}{a}_{1}+\frac{1}{2}=2$為首項(xiàng),以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列,
∴${a}_{n+1}-\frac{1}{2}{a}_{n}+\frac{1}{2}=2(\frac{1}{2})^{n-1}$,
兩邊同乘以2n+1得:${2}^{n+1}{a}_{n+1}-{2}^{n}{a}_{n}+{2}^{n}=8$,
∴${2}^{n+1}{a}_{n+1}-{2}^{n}{a}_{n}=8-{2}^{n}$,
則${2}^{2}{a}_{2}-{2}^{1}{a}_{1}=8-{2}^{1}$,
${2}^{3}{a}_{3}-{2}^{2}{a}_{2}=8-{2}^{2}$,

${2}^{n}{a}_{n}-{2}^{n-1}{a}_{n-1}=8-{2}^{n-1}$,
以上各式累加得:${2}^{n}{a}_{n}-{2}^{1}{a}_{1}=8(n-1)-({2}^{1}+{2}^{2}+…+{2}^{n-1})$,
即${2}^{n}{a}_{n}-2=8(n-1)-({2}^{n}-2)$,
∴${2}^{n}{a}_{n}=4(2n-1)-{2}^{n}$,
則${a}_{n}=\frac{2n-1}{{2}^{n}}-1$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式,考查了等比關(guān)系的確定,訓(xùn)練了利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式,題目設(shè)置難度較大.

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