Question

8．如圖所示，AB，BC是兩條傍山公路，∠ABC=120°，現(xiàn)在擬從M，N兩處修建一條隧道（單位：千米）．
（1）若BN，BM，MN的長(zhǎng)成等差數(shù)列，且公差為4，求隧道MN的長(zhǎng)；
（2）若MN=12，記∠MNB=θ，試用θ表示△MBN的周長(zhǎng)L，并求周長(zhǎng)L的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理列方程解出；
（2）根據(jù)正弦定理用θ表示出BN，BM，使用和角公式化簡(jiǎn)L，根據(jù)θ的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)得出L的最大值．

解答 解：（1）設(shè)BM=x，則BN=x-4，MN=x+4，
在△MBN中，由余弦定理得MN²=BN²+BM²-2BN•BMcosB，
即（x+4）²=（x-4）²+x²+x（x-4），解得x=10．
∴MN=x+4=14（千米）．
（2）∠BMN=60°-θ，
由正弦定理得$\frac{BM}{sinθ}=\frac{BN}{sin（60°-θ）}=\frac{MN}{sin120°}$=8$\sqrt{3}$，
∴BM=8$\sqrt{3}$sinθ，BN=8$\sqrt{3}$sin（60°-θ）
∴L=BM+BN+MN=8$\sqrt{3}$sinθ+8$\sqrt{3}$sin（60°-θ）+12=12cosθ+4$\sqrt{3}$sinθ+12=8$\sqrt{3}$sin（θ+60°）+12．
∵0＜θ＜60°，∴60°＜θ+60°＜120°．
∴當(dāng)θ+60°=90°時(shí)，L取得最大值8$\sqrt{3}+12$千米．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．