Question

7．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為a，$\frac{AN}{NC}=\frac{BM}{{M{C_1}}}=3$．
（Ⅰ）求MN的長(zhǎng)；
（Ⅱ）求異面直線D₁M與AC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分別以DA，DC，DD₁為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，利用向量法能求出|MN|的長(zhǎng)．
（Ⅱ）分另求出$\overrightarrow{{D_1}M}=（\frac{a}{4}，\frac{3a}{4}，-a）$，$\overrightarrow{AC}=（-a，a，0）$，利用向量法能求出異面直線D₁M與AC所成角的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）分別以DA，DC，DD₁為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
則$M（\frac{a}{4}，\frac{3a}{4}，0），N（\frac{a}{4}，a，\frac{3a}{4}）$，…2分
∴|MN|=$\sqrt{（\frac{a}{4}-\frac{a}{4}）^{2}+（a-\frac{3a}{4}）^{2}+（\frac{3a}{4}-a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}a}{4}$．…2分
（Ⅱ）D₁（0，0，a），A（a，0，0），C（0，a，0），
$\overrightarrow{{D_1}M}=（\frac{a}{4}，\frac{3a}{4}，-a）$，$\overrightarrow{AC}=（-a，a，0）$，
$cos＜\overrightarrow{{D_1}M}，\overrightarrow{AC}＞$=$\frac{\overrightarrow{{D}_{1}M}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{{D}_{1}M}|•|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{-\frac{{a}^{2}}{4}+\frac{3{a}^{2}}{4}}{\sqrt{\frac{26{a}^{2}}{16}}•\sqrt{2}a}$=$\frac{\sqrt{13}}{13}$．…3分
所以異面直線D₁M與AC所成角的余弦值$\frac{\sqrt{13}}{13}$．…1分

點(diǎn)評(píng) 本題考查線段長(zhǎng)的求法，考查異面直線所成角的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．