Question

15．已知函數(shù)f（x）是定義在（-∞，+∞）上的偶函數(shù)，且在[0，+∞）上是增函數(shù)，若實(shí)數(shù)a滿足：$f（{log_3}a）+f（{log_3}\frac{1}{a}）≤2f（1）$，則a的取值范圍是$\frac{1}{3}$≤a≤3．

Answer 1

分析 由于函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，則f（-x）=f（x），即有f（x）=f（|x|），$f（{log_3}a）+f（{log_3}\frac{1}{a}）≤2f（1）$，即為f（|log₃a|）≤f（1），再由f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增，得到|log₃a|≤1，即有-1≤log₃a≤1，解出即可

解答 解：由于函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
則f（-x）=f（x），即有f（x）=f（|x|），
由實(shí)數(shù)a滿足$f（{log_3}a）+f（{log_3}\frac{1}{a}）≤2f（1）$，
則有f（log₃a）+f（-log₃a）≤2f（1），
即2f（log₃a）≤2f（1）即f（log₃a）≤f（1），
即有f（|log₃a|）≤f（1），
由于f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增，
則|log₃a|≤1，即有-1≤log₃a≤1，
解得，$\frac{1}{3}$≤a≤3．
故答案為：$\frac{1}{3}$≤a≤3．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和運(yùn)用，考查對數(shù)不等式的解法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題