Question

12．對(duì)于實(shí)數(shù)x，記[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[3.14]=3，[-0.25]=-1．若存在實(shí)數(shù)t，使得[t]=1，[t²]=2，[t³]=3…[t^t]=n同時(shí)成立，則正整數(shù)n的最大值為4．

Answer 1

分析 由新定義可得t的范圍，驗(yàn)證可得最大的正整數(shù)n為4．

解答 解：若[t]=1，則t∈[1，2），
若[t²]=2，則t∈[$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）（因?yàn)轭}目需要同時(shí)成立，則負(fù)區(qū)間舍去），
若[t³]=3，則t∈[$\root{3}{3}$，$\root{3}{4}$），
若[t⁴]=4，則t∈[$\root{4}{4}$，$\root{4}{5}$），
若[t⁵]=5，則t∈[$\root{5}{5}$，$\root{5}{6}$），
其中$\sqrt{3}$≈1.732，$\root{3}{3}$≈1.587，$\root{4}{5}$≈1.495，$\root{5}{6}$≈1.431＜1.495，
通過(guò)上述可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)t=4時(shí)，可以找到實(shí)數(shù)t使其在區(qū)間[1，2）∩[$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）
∩[$\root{3}{3}$，$\root{3}{4}$）∩[$\root{4}{4}$，$\root{4}{5}$）上，
但當(dāng)t=5時(shí)，無(wú)法找到實(shí)數(shù)t使其在區(qū)間[1，2）∩[$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）∩[$\root{3}{3}$，$\root{3}{4}$）∩[$\root{4}{4}$，$\root{4}{5}$）
∩[$\root{5}{5}$，$\root{5}{6}$）上，
∴正整數(shù)n的最大值4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單的演繹推理，涉及新定義的理解和運(yùn)用，屬于中檔題．