Question

13．直線l與拋物線y²=4x交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）直線l是否過(guò)定點(diǎn)？證明你的結(jié)論；
（2）若$|{AB}|=4\sqrt{10}$，求△AOB的外接圓的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線l：x=ty+m，代入拋物線y²=4x，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積公式即可得到結(jié)論．
（2）根據(jù)弦長(zhǎng)公式得到t=±1，再分別求出相對(duì)應(yīng)的△AOB的外接圓的方程．

解答 解：（1）直線l過(guò)定點(diǎn)（4，0）．證明如下：
設(shè)直線l的方程為x=ty+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則OA⊥OB?x₁x₂+y₁y₂=0
即$（{1+{t^2}}）{y_1}{y_2}+mt（{{y_1}+{y_2}}）+{m^2}=0$ ①
由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ x=ty+m\end{array}\right.∴{y^2}-4ty-4m=0$，
∴y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4m ②
由 ①②得m²-4m=0，
∴m=4
故直線l過(guò)定點(diǎn)（4，0）．
 （2）由（1）知$|{AB}|=\sqrt{（{1+{t^2}}）[{{{（{{y_1}+{y_2}}）}^2}-4{y_1}{y_2}}]}=4\sqrt{（{1+{t^2}}）（{{t^2}+4}）}=4\sqrt{10}$，
∴t²=1，
①若t=1，則y₁+y₂=4，x₁+x₂=12，∴外接圓方程為（x-6）²+（y-2）²=40
②若t=-1，則y₁+y₂=-4，x₁+x₂=4，∴外接圓方程為（x-2）²+（y+2）²=8
故外接圓方程為（x-6）²+（y-2）²=40或（x-2）²+（y+2）²=8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵，解題時(shí)要注意弦長(zhǎng)公式的合理運(yùn)用，考查圓的方程，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題