Question

20．已知關(guān)于x的二次函數(shù)f（x）=ax²-4bx+1
（1）設(shè)集合A={-1，2，4}和B={-2，1，2}，分別從集合A，B中隨機取一個數(shù)作為a和b，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率．
（2）設(shè)點（a，b）是區(qū)域$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4≤0}\\{x＞0}\\{y＞0}\end{array}\right.$內(nèi)的隨機點，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率．

Answer 1

分析 （1）由二次函數(shù)的單調(diào)性，可得a＞0且-$\frac{-4b}{2a}$≤1，即a＞0且2b≤a．運用古典概率的公式，計算即可得到所求；
（2）畫出不等式組表示的可行域，求得面積，再求區(qū)域內(nèi)滿足a＞0且2b≤a的三角形的面積，運用幾何概率的公式計算即可得到．

解答 解：（1）要使函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，
則a＞0且-$\frac{-4b}{2a}$≤1，即a＞0且2b≤a．
所有（a，b）的取法總數(shù)為3×3=9個，
滿足條件的（a，b）有（2，-2），（2，1），（4，-2），（4，1），（4，2）共5個，
所以，所求概率P=$\frac{5}{9}$；
（2）如圖，求得區(qū)域$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4≤0}\\{x＞0}\\{y＞0}\end{array}\right.$的面積為$\frac{1}{2}$×4×4=8．
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{x-2y=0}\end{array}\right.$求得P（$\frac{8}{3}$，$\frac{4}{3}$），
所以區(qū)域內(nèi)滿足a＞0且2b≤a的面積為$\frac{1}{2}$×4×$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{3}$．
所以，所求概率P=$\frac{\frac{8}{3}}{8}$=$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查改了的求法，注意運用古典概率和幾何概率的公式，同時考查函數(shù)的單調(diào)性的運用，考查運算能力，屬于中檔題．