Question

8．已知等差數(shù)列{a_n}的前3項(xiàng)和為-6，前8項(xiàng)的和為24．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=（a_n+6）qⁿ（q≠0），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、通項(xiàng)公式即可得出；
（2）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，其前n項(xiàng)和為S_n．
∵S₃=-6，S₈=24．
∴$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+\frac{3×2}{2}d=-6}\\{8{a}_{1}+\frac{8×7}{2}d=24}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=-4}\\{d=2}\end{array}\right.$，
∴a_n=-4+2（n-1）=2n-6．
（2）b_n=（a_n+6）qⁿ=2nqⁿ，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=2（q+2q²+3q³+…+nqⁿ），
當(dāng)q=1時(shí)，S_n=2（1+2+3+…+n）=$2×\frac{n（n+1）}{2}$=n²+n．
當(dāng)q≠1，0時(shí)，qS_n=2（q²+2q³+3q⁴+…+nqⁿ⁺¹），
∴S_n-qS_n=2（q+q²+q³+…+qⁿ-nqⁿ⁺¹）=2$（\frac{q（{q}^{n}-1）}{q-1}-n{q}^{n+1}）$，
∴S_n=$-2\frac{{q}^{n+1}-q}{q-1}$+2nqⁿ⁺¹．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．