Question

2．在平面直角坐標系xOy中，點M的坐標是（0，$\frac{1}{2}$），直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程ρ=2cosθ．
（Ⅰ）求點M與圓C的位置關(guān)系；
（Ⅱ）若直線l與圓C的交點為P，Q，求|MP|•|MQ|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由圓C的極坐標方程ρ=2cosθ即ρ²=2ρcosθ，化為直角坐標方程可得圓心與半徑，利用兩點之間的距離公式可得圓心與點的距離，即可判斷出位置關(guān)系．
（Ⅱ）由直線l的參數(shù)方程代入圓C的普通方程可得${t}^{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}t+\frac{1}{4}$=0，即可得出|MP|•|MQ|=|t₁t₂|．

解答 解：（Ⅰ）由圓C的極坐標方程ρ=2cosθ即ρ²=2ρcosθ，
∴圓C的普通方程為（x-1）²+y²=1，
又∵點M的坐標是（0，$\frac{1}{2}$），
∴|MC|=$\sqrt{（0-1）^{2}+（\frac{1}{2}-0）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$＞1，
∴點M在圓C外．
（Ⅱ）∵直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
代入圓C的普通方程（x-1）²+y²=1，得${t}^{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}t+\frac{1}{4}$=0，
∴t₁t₂=$\frac{1}{4}$，
∴|MP|•|MQ|=|t₁t₂|=$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、兩點之間的距離公式、點與圓的位置關(guān)系、直線參數(shù)及其應用、直線與圓相交弦長問題，屬于中檔題．