Question

1．已知函數(shù)y=$\frac{{x}^{2}-4x+7}{x-3}$．
①若x＞3，求此函數(shù)的最小值；
②若x＜3，求此函數(shù)的最大值．

Answer 1

分析 令x-3=t，換元可得y=t+$\frac{4}{t}$+2，分別由不等式的性質(zhì)和基本不等式求最值可得．

解答 解：令x-3=t，則x=t+3，
換元可得y=$\frac{{x}^{2}-4x+7}{x-3}$
=$\frac{（t+3）^{2}-4（t+3）+7}{t}$
=$\frac{{t}^{2}+2t+4}{t}$=t+$\frac{4}{t}$+2
①當(dāng)x＞3時(shí)，t＞0，∴y=t+$\frac{4}{t}$+2≥2$\sqrt{t•\frac{4}{t}}$+2=6，當(dāng)且僅當(dāng)t=$\frac{4}{t}$，即t=2即x=5時(shí)，函數(shù)的最小值6；
②當(dāng)x＜3時(shí)，t＜0，∴y=t+$\frac{4}{t}$+2≤-2$\sqrt{t•\frac{4}{t}}$+2=-2，當(dāng)且僅當(dāng)t=$\frac{4}{t}$即t=-2即x=1時(shí)，函數(shù)的最大值-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式求最值，涉及換元法和分類(lèi)討論的思想，屬基礎(chǔ)題．