Question

15．已知過點(diǎn)M（-3，-3）的直線l被圓x²+y²+4y-21=0所截得的弦長為8，則直線l的方程為4x+3y+21=0或x=-3．

Answer 1

分析 求出圓x²+y²+4y-21=0的圓心、半徑，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線方程為x=-3，成立；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y=k（x+3）-3，求出圓心（0，-2）到直線y=k（x+3）-3的距離，由過點(diǎn)M（-3，-3）的直線l被圓x²+y²+4y-21=0所截得的弦長為8，利用勾股定理能求出直線l的方程．

解答 解：圓x²+y²+4y-21=0的圓心為（0，-2），半徑r=$\frac{1}{2}\sqrt{16+84}$=5，
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線方程為x=-3，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{{x}^{2}+{y}^{2}+4y-21=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=-6}\end{array}\right.$，
∴直線l：x=-3被圓x²+y²+4y-21=0所截得的弦長為8，成立；
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y=k（x+3）-3，
圓心（0，-2）到直線y=k（x+3）-3的距離d=$\frac{|0+2+3k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{|3k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∵過點(diǎn)M（-3，-3）的直線l被圓x²+y²+4y-21=0所截得的弦長為8，
∴由勾股定理得：${r}^{2}=sgr7rsz^{2}+（\frac{8}{2}）^{2}$，
即25=$\frac{（3k-1）^{2}}{{k}^{2}+1}$+16，解得k=-$\frac{4}{3}$，
∴直線l：$y=-\frac{4}{3}（x+3）-3$，整理，得：4x+3y+21=0．
綜上直線l的方程為：4x+3y+21=0或x=-3．
故答案為：4x+3y+21=0或x=-3．

點(diǎn)評 本題考查直線方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．