Question

16．把-塊邊長為10cm正方形鐵片按如圖所示的陰影部分裁下，用余下的四個(gè)全等的等腰三角形加工成一個(gè)正四棱錐（底面是正方形，從頂點(diǎn)向底面作垂線，垂足是底面中心的四棱錐）形容器，
（1）試建立容器的容積V與所截等腰三角形的底邊邊長為x的函數(shù)關(guān)系式，并求出函數(shù)的定義域．
（2）試求容積V的最大值；
（3）當(dāng)x=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$時(shí)，M是BC的中點(diǎn)，P是EB上一點(diǎn)，求AP+PM最小值．

Answer 1

分析 （1）由圖可知：EO⊥平面ABCD，EF=5，OF=$\frac{1}{2}x$，EO=$\sqrt{E{F}^{2}-O{F}^{2}}$．利用V=$\frac{1}{3}•EO•{S}_{正方形ABCD}$剪開得出．
（2）設(shè)$\sqrt{100-{x}^{2}}$=t∈（0，10），則x²=100-t²．可得V=$\frac{1}{6}$t（100-t²）=$\frac{1}{6}（100t-{t}^{3}）$=f（t），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．
（3）把△EAB，△EBC，剪開在同一個(gè)平面內(nèi)，連接AM交EB于點(diǎn)P．當(dāng)x=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$時(shí)，tan∠EBA=$\sqrt{3}$，可得∠EBA=60°．∠ABM=120°．在△ABM中，利用余弦定理即可得出．

解答 解：（1）由圖可知：EO⊥平面ABCD，
EF=5，OF=$\frac{1}{2}x$，EO=$\sqrt{E{F}^{2}-O{F}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-\frac{{x}^{2}}{4}}$=$\frac{\sqrt{100-{x}^{2}}}{2}$．
∴V=$\frac{1}{3}•EO•{S}_{正方形ABCD}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{100-{x}^{2}}}{2}$×x²（0＜x＜10）．
（2）設(shè)$\sqrt{100-{x}^{2}}$=t∈（0，10），則x²=100-t²．
∴V=$\frac{1}{6}$t（100-t²）=$\frac{1}{6}（100t-{t}^{3}）$=f（t），
則f′（t）=$\frac{1}{6}（100-3{t}^{2}）$=$\frac{-（t+\sqrt{\frac{100}{3}}）（t-\sqrt{\frac{100}{3}}）}{2}$，
當(dāng)$t∈（0，\sqrt{\frac{100}{3}}）$時(shí)，f′（t）＞0，函數(shù)f（t）單調(diào)遞增；當(dāng)$t∈（\sqrt{\frac{100}{3}}，10）$時(shí)，f′（t）＜0，函數(shù)f（t）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)t=$\sqrt{\frac{100}{3}}$即x=$\frac{10\sqrt{6}}{3}$時(shí)，f（t）取得最大值$\frac{1000\sqrt{3}}{27}$cm³．
（3）把△EAB，△EBC，剪開在同一個(gè)平面內(nèi)，連接AM交EB于點(diǎn)P．當(dāng)x=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$時(shí)，tan∠EBA=$\frac{5}{\frac{1}{2}×\frac{10\sqrt{3}}{3}}$=$\sqrt{3}$，∴∠EBA=60°．
∴∠ABM=120°．
在△ABM中，由余弦定理可得：AM²=$（\frac{10\sqrt{3}}{3}）^{2}$+$（\frac{5\sqrt{3}}{3}）^{2}$-$2×\frac{10\sqrt{3}}{3}×\frac{5\sqrt{3}}{3}×cos12{0}^{°}$=$\frac{175}{3}$．
∴AM=$\frac{5\sqrt{21}}{3}$．
∴AP+PM最小值為AM=$\frac{5\sqrt{21}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間位置關(guān)系、體積計(jì)算、勾股定理、余弦定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．