Question

17．如圖，某市若規(guī)劃一居民小區(qū)ABCD，AD=2千米，AB=1千米，∠A=90°，政府決定從該地塊中劃出一個直角三角形地塊AEF建活動休閑區(qū)（點E，F(xiàn)分別在線段AB，AD上），且該直角三角形AEF的周長為1千米，△AEF的面積為S．
（1）①設AE=x，求S關于x的函數(shù)關系式；
②設∠AEF=θ，求S關于θ的函數(shù)關系式；
（2）試確定點E的位置，使得直角三角形地塊AEF的面積S最大，并求出S的最大值．

Answer 1

分析 （1）①設AF=y，由勾股定理可得y=$\frac{1-2x}{2（1-x）}$（由y＞0可得0＜x＜$\frac{1}{2}$），即可得到S的解析式；
②AF=xtanθ，EF=$\frac{x}{cosθ}$，由周長為1，解得x，即可得到S的解析式；
（2）由①得S=$\frac{x（1-2x）}{4（1-x）}$（0＜x＜$\frac{1}{2}$），設1-x=t（$\frac{1}{2}$＜t＜1），則x=1-t，可得S=$\frac{1}{4}$•$\frac{（1-t）（2t-1）}{t}$=$\frac{1}{4}$•（3-2t-$\frac{1}{t}$）運用基本不等式，可得最大值及x的值．

解答 解：（1）①設AF=y，由勾股定理可得x²+y²=（1-x-y）²，
解得y=$\frac{1-2x}{2（1-x）}$（由y＞0可得0＜x＜$\frac{1}{2}$），
可得S=$\frac{1}{2}$xy=$\frac{x（1-2x）}{4（1-x）}$（0＜x＜$\frac{1}{2}$）；
②AF=xtanθ，EF=$\frac{x}{cosθ}$，
由x+xtanθ+$\frac{x}{cosθ}$=1，可得x=$\frac{cosθ}{cosθ+sinθ+1}$，
即有S=$\frac{1}{2}$xy=$\frac{1}{2}$•$\frac{sinθcosθ}{（sinθ+cosθ+1）^{2}}$（0＜θ＜$\frac{π}{2}$）；
（2）由①得S=$\frac{x（1-2x）}{4（1-x）}$（0＜x＜$\frac{1}{2}$），
設1-x=t（$\frac{1}{2}$＜t＜1），則x=1-t，
S=$\frac{1}{4}$•$\frac{（1-t）（2t-1）}{t}$=$\frac{1}{4}$•（3-2t-$\frac{1}{t}$）
≤$\frac{1}{4}$•（3-2$\sqrt{2t•\frac{1}{t}}$）=$\frac{3-2\sqrt{2}}{4}$，
當且僅當2t=$\frac{1}{t}$，即t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即x=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，
直角三角形地塊AEF的面積S最大，且為$\frac{3-2\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，考查基本不等式的運用，注意等號成立的條件，同時考查分析問題解決問題的能力，屬于中檔題．