Question

12．過頂點在原點、對稱軸為y軸的拋物線E上的定點A（2，1）作斜率分別為k₁、k₂的直線，分別交拋物線E于B、C兩點．
（1）求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程；
（2）若k₁+k₂=k₁k₂，證明：直線BC恒過定點．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線的方程為x²=ay，代入A（2，1），可得a=4，即可求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程；
（2）設(shè)出AB和AC所在的直線方程，分別把直線和拋物線聯(lián)立后求得B，C兩點的橫坐標(biāo)，再由兩點式寫出直線BC的方程，把B，C的坐標(biāo)，k₁+k₂=k₁k₂，代入后整理，利用相交線系方程的知識可求出直線BC恒過的定點．

解答 （1）解：設(shè)拋物線的方程為x²=ay，則
代入A（2，1），可得a=4，
∴拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²=4y，準(zhǔn)線方程為y=-1；
（2）證明：設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則直線AB方程y=k₁（x-2）+1，
AC方程y=k₂（x-2）+1，
聯(lián)立直線AB方程與拋物線方程，消去y，得x²-4k₁x+8k₁-4=0，
∴x₁=4k₁-2①
同理x₂=4k₂-2②
而BC直線方程為y-$\frac{1}{4}$x₁²=$\frac{{x}_{2}+{x}_{1}}{4}$（x-x₁），③
∵k₁+k₂=k₁k₂，
∴由①②③，整理得k₁k₂（x-2）-x-y-1=0．
由x-2=0且-x-y-1=0，得x=2，y=-3，故直線BC經(jīng)過定點（2，-3）．

點評 本題主要考查了拋物線的方程與幾何性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系代入運算，這是處理這類問題的最為常用的方法．