Question

7．某植物園要建形狀為直角梯形的苗圃（如圖所示），兩條鄰邊借用夾角為135°的兩面墻，另兩條邊的總長為60m，設(shè)垂直于底邊的腰長為x（m）．
（1）求苗圃面積S關(guān)于邊長x的函數(shù)解析式S（x）并指出該函數(shù)的定義域；
（2）當(dāng)x為何值時，面積S最大？最大面積是多少？

Answer 1

分析 （1）先過點(diǎn)D作DE⊥BC于E，則四邊形ADBE為矩形，得出DE=AB=x，再證明△DEC是等腰直角三角形，得出EC=60-x，BC=60-2x，然后根據(jù)梯形的面積公式即可求出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；根據(jù)AB＞0，AD＞0，即可求出自變量x的取值范圍；
（2）由（1）可知S是x的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)直接求解．

解答 解：（1）過點(diǎn)D作DE⊥BC于E，則四邊形ADBE為矩形，DE=AB=x，∠ADE=∠DEB=90°，
則∠CDE=∠ADC-∠ADE=45°，
在直角△CDE中，
又∵∠DEC=90°，
∴∠C=45°，
∴CE=DE=x，
∵BC=60-AB=60-x，
∴BE=BC-CE=60-2x，
∴AD=BE=60-2x，
∴梯形ABCD面積S=$\frac{1}{2}$（AD+BC）•AB=$\frac{1}{2}$（60-2x+60-x）•x=-$\frac{3}{2}$x²+60x，
∵$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{60-2x＞0}\end{array}\right.$，
∴0＜x＜30．
故梯形ABCD面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式為S=-$\frac{3}{2}$x²+60x（0＜x＜30）；
（2）∵S=-$\frac{3}{2}$x²+60x=-$\frac{3}{2}$（x-20）²+600
∵0＜x＜30，
∴x=20m時，S有最大值600m²．

點(diǎn)評 本題考查了直角梯形的性質(zhì)及二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找到兩個變量S與x之間的函數(shù)關(guān)系．