Question

如圖，已知雙曲線，曲線，是平面上一點(diǎn)，若存在過點(diǎn)的直線與、都有公共點(diǎn)，則稱為“型點(diǎn)”．

(1)在正確證明的左焦點(diǎn)是“型點(diǎn)”時(shí)，要使用一條過該焦點(diǎn)的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗(yàn)證）；

(2)設(shè)直線與有公共點(diǎn)，求證，進(jìn)而證明原點(diǎn)不是“型點(diǎn)”；

(3)求證：圓內(nèi)的點(diǎn)都不是“型點(diǎn)”．

Answer 1

【解答】：（1）的左焦點(diǎn)為，過的直線與交于，與交于，故的左焦點(diǎn)為“型點(diǎn)”，且直線可以為；

（2）直線與有交點(diǎn)，則

，若方程組有解，則必須；

直線與有交點(diǎn)，則

，若方程組有解，則必須

故直線至多與曲線和中的一條有交點(diǎn)，即原點(diǎn)不是“型點(diǎn)”。

（3）顯然過圓內(nèi)一點(diǎn)的直線若與曲線有交點(diǎn)，則斜率必存在；

根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)直線斜率存在且與曲線交于點(diǎn)，則

直線與圓內(nèi)部有交點(diǎn)，故

化簡得，。。。。。。。。。。。。①

若直線與曲線有交點(diǎn)，則

若，則

化簡得，。。。。。②

由①②得，

但此時(shí)，因?yàn)?sub>即①式不成立；

當(dāng)時(shí)，①式也不成立

綜上，直線若與圓內(nèi)有交點(diǎn)，則不可能同時(shí)與曲線和有交點(diǎn)，

即圓內(nèi)的點(diǎn)都不是“型點(diǎn)”．