Question

6．已知點(diǎn)P（1，m）是頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線上一點(diǎn)，若點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)F的距離為2，則該拋物線方程為y²=4x或x²=2（2±$\sqrt{3}$）y．

Answer 1

分析 討論若焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，設(shè)拋物線的方程為y²=2px，若焦點(diǎn)在y軸的正半軸上，可設(shè)x²=2ty（p，t＞0），求出準(zhǔn)線方程，由拋物線的定義，解方程即可得到所求方程．

解答 解：若焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，設(shè)拋物線的方程為y²=2px，（p＞0），
準(zhǔn)線的方程為x=-$\frac{p}{2}$，
由拋物線的定義可得2=1+$\frac{p}{2}$，解得p=2，
可得拋物線的方程為y²=4x；
若焦點(diǎn)在y軸的正半軸上，可設(shè)x²=2ty（t＞0），
準(zhǔn)線的方程為y=-$\frac{t}{2}$，
由拋物線的定義可得，2=m+$\frac{t}{2}$，且1=2tm，
解得t=2$±\sqrt{3}$，
可得拋物線的方程為x²=2（2±$\sqrt{3}$）y．
故答案為：y²=4x或x²=2（2±$\sqrt{3}$）y．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程的求法，注意運(yùn)用待定系數(shù)法，考查解方程的運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．