Question

15．定義點(diǎn)P（x₀，y₀）到直線l：ax+by+c=0（a²+b²≠0）的有向距離為d=$\frac{{a{x_0}+b{y_0}+c}}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}$．已知點(diǎn)P₁、P₂到直線l的有向距離分別是d₁、d₂．以下命題正確的是（　�。�

• A． 若d₁-d₂=0，則直線P₁P₂與直線l平行
• B． 若d₁+d₂=0，則直線P₁P₂與直線l平行
• C． 若d₁+d₂=0，則直線P₁P₂與直線l垂直
• D． 若d₁•d₂＜0，則直線P₁P₂與直線l相交

Answer 1

分析 根據(jù)有向距離的定義，分別對(duì)直線P₁P₂與直線l的位置關(guān)系進(jìn)行判斷．

解答 解：設(shè)點(diǎn)P₁，P₂的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）（x₂，y₂），則d₁=$\frac{A{x}_{1}+B{y}_{1}+C}{\sqrt{{A}^{2}+{B}^{2}}}$，d₂=$\frac{A{x}_{2}+B{y}_{2}+C}{\sqrt{{A}^{2}+{B}^{2}}}$．
A，若d₁-d₂=0，則若d₁=d₂，即$\frac{A{x}_{1}+B{y}_{1}+C}{\sqrt{{A}^{2}+{B}^{2}}}$=$\frac{A{x}_{2}+B{y}_{2}+C}{\sqrt{{A}^{2}+{B}^{2}}}$，
∴Ax₁+By₁+C=Ax₂+By₂+C，
∴若d₁=d₂=0時(shí)，即Ax₁+By₁+C=Ax₂+By₂+C=0，
則點(diǎn)P₁，P₂都在直線l，∴此時(shí)直線P₁P₂與直線l重合，∴A錯(cuò)誤．
B，由A知，若d₁=d₂=0時(shí)，滿足d₁+d₂=0，但此時(shí)Ax₁+By₁+C=Ax₂+By₂+C=0，
則點(diǎn)P₁，P₂都在直線l，∴此時(shí)直線P₁P₂與直線l重合，∴B錯(cuò)誤．
C，由A知，若d₁=d₂=0時(shí)，滿足d₁+d₂=0，但此時(shí)Ax₁+By₁+C=Ax₂+By₂+C=0，
則點(diǎn)P₁，P₂都在直線l，∴此時(shí)直線P₁P₂與直線l重合，∴C錯(cuò)誤．
D，若d₁•d₂＜0，則$\frac{A{x}_{1}+B{y}_{1}+C}{\sqrt{{A}^{2}+{B}^{2}}}$-$\frac{A{x}_{2}+B{y}_{2}+C}{\sqrt{{A}^{2}+{B}^{2}}}$＜0，
即（Ax₁+By₁+C）（Ax₂+By₂+C）＜0，
∴點(diǎn)P₁，P₂分別位于直線l的兩側(cè)，
∴直線P₁P₂與直線l相交，
∴D正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查與直線距離有關(guān)的命題的判斷，利用條件推出點(diǎn)與直線的位置關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．