Question

11．已知動圓P與圓C₁：（x+5）²+y²=49和圓C₂：（x-5）²+y²=1，分別求滿足下列條件的動圓圓心P的軌跡方程．
（1）圓P與圓C₁，圓C₂都外切；
（2）圓P與圓C₁，圓C₂都內切；
（3）圓P與圓C₁外切，圓C₂內切．

Answer 1

分析 （1）設動圓的半徑為r，由題意利用兩圓向外切的性質可得PC₁-PC₂=6＜AB=10，可得點P的軌跡，求出a、b的值，可得圓心的軌跡方程；
（2）設動圓的半徑為r，由題意利用兩圓向外切的性質可得PC₂-PC₁=6＜AB=10，可得點P的軌跡，求出a、b的值，可得圓心的軌跡方程；
（3）設動圓的半徑為r，由題意利用兩圓向外切的性質可得PC₁-PC₂=8＜AB=10，可得點P的軌跡，求出a、b的值，可得圓心的軌跡方程．

解答 解：（1）設動圓的半徑為r，圓心為P（x，y），由題意利用兩圓外切的性質可得
PC₁=7+r，PC₂=1+r，∴PC₁-PC₂=6＜AB=10，
故點P的軌跡是以C₁、C₂為焦點的雙曲線的右支，根據(jù)c=5，2a=6，
可得a=3，b=4，故圓P的圓心的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$（x≥3）；
（2）由題意利用兩圓內切的性質可得
PC₁=r-7，PC₂=r-1，∴PC₂-PC₁=6＜AB=10，
故點P的軌跡是以C₁、C₂為焦點的雙曲線的左支，根據(jù)c=5，2a=6，
可得a=3，b=4，故圓P的圓心的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$（x≤3）；
（3）由題意，利用圓P與圓C₁外切，圓C₂內切可得
PC₁=7+r，PC₂=r-1，∴PC₁-PC₂=8＜AB=10，
故點P的軌跡是以C₁、C₂為焦點的雙曲線的右支，根據(jù)c=5，2a=8，
可得a=4，b=3，故圓P的圓心的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{9}=1$（x≥4）；

點評 本題主要考查兩圓相切的性質，雙曲線的定義、標準方程，屬于中檔題．